NUMEROS
COMPLEJOS
Ilustración del plano
complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal
y los imaginarios en el eje vertical.
Los números complejos son una extensión de los números reales y
forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado . El
conjunto de los números complejos se designa con la notación , siendo el
conjunto de los números reales se cumple que . Los
números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia
de los reales. Todo número complejo puede
representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que
es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se
indica con la letra i), o
en forma polar.
Los números complejos son la
herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las
matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales,
facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y
electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos
se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente
en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente
en la electrónica y las telecomunicaciones, por su
utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números
constituyen un cuerpo y, en general, se
consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este
cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad
importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero
que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que
cualquier ecuación algebraica de
grado n tiene exactamente n soluciones
complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con
números complejos reciben el nombre de variable compleja o
análisis complejo.
Definición:
Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z. Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:
Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z. Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:
· Al
número se denomina número
complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ
de los números reales se establece un isomorfismo, se asume que todo número
real es un número complejo. Al número complejo se denomina número imaginario puro. Puesto que se dice que un número
complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.
Valor absoluto o módulo de
un número complejo
La fórmula de Euler ilustrada en el plano
complejo.
El valor
absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente
expresión:
Si
pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en
el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo
coincide con la distancia euclídea desde el origen del
plano a dicho punto.
Si
el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z|
= r. Se puede expresar
en forma trigonométrica comoz = r (cosφ + isenφ), donde
cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.
Podemos
comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto para
cualquier complejo z y w.
Por
definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos
gracias al que se puede hablar de límites ycontinuidad. La suma, la resta,
la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no
se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números
complejos.
Argumento o fase
Artículo principal: Argumento (análisis complejo)
El argumento principal o fase de un número complejo
genérico (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) es el
ángulo que forman el eje de
abscisas OX y el vector OM, con M(x,y).
Viene dado por la siguiente expresión:
donde
atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los
cuatro cuadrantes:
la función
signo.
El
argumento tiene periodicidad 2π, con lo que cualquier número
entero. El ángulo Arg z es el valor principal
de arg z que verifica las
condiciones -π < Arg z <= π descritas
antes.
Conjugado de un número
complejo
Dos
binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central. De esta
manera, el conjugado de un complejo z es un nuevo número
complejo, definido así:
Se
observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria. Con este número
se cumplen las propiedades.Esta
última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número
complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.
Representación binómica
Un número complejo representado como un punto
(en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; es la expresión binomial del punto.
Un
número complejo se representa en forma binomial como:
La
parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de
varias maneras, como se muestra a continuación:
Representación polar
El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de
Argand; o es la expresión polar del punto.
En
esta representación, 
es el módulo del número complejo y
el ángulo 
es el argumento del número complejo.
es el módulo del número complejo y
el ángulo es el argumento del número complejo.
Despejamos a y b en las expresiones
anteriores y, utilizando la representación binomial:
Sacamos
factor común r:
Frecuentemente,
esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:
la
cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la
unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.
Según
esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de
esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que
pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.
Según
la Fórmula de Euler, vemos que:
No
obstante, el ángulo no está unívocamente
determinado por z, pueden existir
infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano,
que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido
antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por
números enteros , como implica la
fórmula de Euler:
Por
esto, generalmente restringimos al intervalo [-π, π) y a éste restringido lo
llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z).
Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.
Operaciones en forma polar
La
multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación
polar:
suma de complejos:
