EVAP 4

NUMEROS COMPLEJOS

Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado . El conjunto de los números complejos se designa con la notación , siendo  el conjunto de los números reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitación de cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

Definición:

Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z. Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:

·  Al número  se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo, se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo  se denomina número imaginario puro. Puesto que  se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro. 

Valor absoluto o módulo de un número complejo

La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r e^iφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma trigonométrica comoz = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = e^iφ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites ycontinuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Argumento o fase

Artículo principal: Argumento (análisis complejo)

El argumento principal o fase de un número complejo genérico  (siendo x=Re(z) e y=Im(z)) es el ángulo  que forman el eje de abscisas OX y el vector OM, con M(x,y). Viene dado por la siguiente expresión:

donde atan2(y,x) es la función arcotangente definida para los cuatro cuadrantes:

la función signo.

El argumento tiene periodicidad 2π, con lo que  cualquier número entero. El ángulo Arg z es el valor principal de arg z que verifica las condiciones -π < Arg z <= π descritas antes.

Conjugado de un número complejo

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central. De esta manera, el conjugado de un complejo z  es un nuevo número complejo, definido así:

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria. Con este número se cumplen las propiedades.Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Representación binómica

Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand;  es la expresión binomial del punto.

Un número complejo se representa en forma binomial como:

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

Representación polar

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand;  o es la expresión polar del punto.

En esta representación,  es el módulo del número complejo y el ángulo  es el argumento del número complejo.

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

Sacamos factor común r:

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

No obstante, el ángulo  no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros , como implica la fórmula de Euler:

Por esto, generalmente restringimos  al intervalo [-π, π) y a éste  restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

Operaciones en forma polar

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

suma de complejos:

EVLUCION PERMANENTE 3

TERMODINÁMICA

La termodinámica  es la rama de la física que describe los estados de equilibrio a nivel macroscópico. El Diccionario de la lengua española de la Real Academia Española, por su parte, define a la termodinámica como la rama de la física encargada del estudio de la interacción entre el calor y otras manifestaciones de la energía. Constituye una teoría fenomenológica, a partir de razonamientos deductivos, que estudia sistemas reales, sin modelizar y sigue un método experimental. Los estados de equilibrio se estudian y definen por medio de magnitudes extensivas tales como la energía interna, la entropía, el volumen o la composición molar del sistema, o por medio de magnitudes no-extensivas derivadas de las anteriores como la temperatura, presión y el potencial químico; otras magnitudes, tales como la imanación, la fuerza electromotriz y las asociadas con la mecánica de los medios continuos en general también pueden tratarse por medio de la termodinámica.

PRIMER PRINCIPIO DE LA TREMODINÁMICA

También conocida como principio de conservación de la energía para la termodinámica, establece que si se realiza trabajo sobre un sistema o bien este intercambia calor con otro, la energía interna del sistema cambiará.

Visto de otra forma, esta ley permite definir el calor como la energía necesaria que debe intercambiar el sistema para compensar las diferencias entre trabajo y energía interna. Fue propuesta por Nicolas Léonard Sadi Carnot en 1824, en su obra Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego y sobre las máquinas adecuadas para desarrollar esta potencia, en la que expuso los dos primeros principios de la termodinámica. Esta obra fue incomprendida por los científicos de su época, y más tarde fue utilizada por Rudolf Clausius y Lord Kelvin para formular, de una manera matemática, las bases de la termodinámica.

La ecuación general de la conservación de la energía es la siguiente:

Que aplicada a la termodinámica teniendo en cuenta el criterio de signos termodinámico, queda de la forma:

Donde U es la energía interna del sistema (aislado), Q es la cantidad de calor aportado al sistema y W es el trabajo realizado por el sistema.

Esta última expresión es igual de frecuente encontrarla en la forma 

 . Ambas expresiones, aparentemente contradictorias, son correctas y su diferencia está en que se aplique el convenio de signos IUPAC o el Tradicional (véase criterio de signos termodinámico).

SEGUNDO PRINCIO DE LA TERMODINAMICA

Este principio marca la dirección en la que deben llevarse a cabo los procesos termodinámicos y, por lo tanto, la imposibilidad de que ocurran en el sentido contrario (por ejemplo, una mancha de tinta dispersada en el agua no puede volver a concentrarse en un pequeño volumen). El sentido de evolución de los procesos reales es único ya que son irreversibles. Este hecho viene caracterizado por el aumento de una magnitud física, S, la entropía del sistema termodinámico, con el llamado principio de aumento de entropía, que es una forma de enunciar el segundo principio de la termodinámica. También establece, en algunos casos, la imposibilidad de convertir completamente toda la energía de un tipo a otro sin pérdidas. De esta forma, el segundo principio impone restricciones para las transferencias de energía que hipotéticamente pudieran llevarse a cabo teniendo en cuenta solo el primer principio. Esta ley apoya todo su contenido aceptando la existencia de una magnitud física llamada entropía, de tal manera que, para un sistema aislado (que no intercambia materia ni energía con su entorno), la variación de la entropía siempre debe ser mayor que cero.

Debido a esta ley también se tiene que el flujo espontáneo de calor siempre es unidireccional, desde los cuerpos de mayor temperatura hacia los de menor temperatura, hasta lograr un equilibrio térmico.

La aplicación más conocida es la de las máquinas térmicas, que obtienen trabajo mecánico mediante aporte de calor de una fuente o foco caliente, para ceder parte de este calor a la fuente o foco o sumidero frío. La diferencia entre los dos calores tiene su equivalente en el trabajo mecánico obtenido.

Existen numerosos enunciados equivalentes para definir este principio, destacándose el de Clausius y el de Kelvin.

ENUCIADOS DE KELVIN - PLANK

Es imposible construir una máquina térmica que, operando en un ciclo, no produzca otro efecto que la absorción de energía desde un depósito, con la realización de una cantidad igual de trabajo. Sería correcto decir que "Es imposible construir una máquina que, operando cíclicamente, produzca como único efecto la extracción de calor de un foco y la realización equivalente de trabajo". Varía con el primero, dado a que en él, se puede deducir que la máquina transforma todo el trabajo en calor, y, que el resto, para otras funciones... Este enunciado afirma la imposibilidad de construir una máquina que convierta todo el calor en trabajo. Siempre es necesario intercambiar calor con un segundo foco (el foco frío), de forma que parte del calor absorbido se expulsa como calor de desecho al ambiente. Ese calor desechado, no pude reutilizarse para aumentar el calor (inicial) producido por el sistema (en este caso la máquina), es a lo que llamamos entropía.

TERCER PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA

Algunas fuentes se refieren incorrectamente al postulado de Nernst como "La tercera de las leyes de la termodinámica". Es importante reconocer que no es una noción exigida por la termodinámica clásica por lo que resulta inapropiado tratarlo de «ley», siendo incluso inconsistente con la mecánica estadística clásica y necesitando el establecimiento previo de la estadística cuántica para ser valorado adecuadamente. La mayor parte de la termodinámica no requiere la utilización de este postulado. El postulado de Nernst, llamado así por ser propuesto por Walther Nernst, afirma que es imposible alcanzar una temperatura igual al cero absoluto mediante un número finito de procesos físicos. Puede formularse también como que a medida que un sistema dado se aproxima al cero absoluto, su entropía tiende a un valor constante específico. La entropía de los sólidos cristalinos puros puede considerarse cero bajo temperaturas iguales al cero absoluto.

Es importante remarcar que los principios de la termodinámica son válidos siempre para los sistemas macroscópicos, pero inaplicables a nivel microscópico. La idea del demonio de Maxwell ayuda a comprender los límites de la segunda ley de la termodinámica jugando con las propiedades microscópicas de las partículas que componen un gas.

SISTEMA

Se puede definir un sistema como un conjunto de materia, que está limitado por unas paredes, reales o imaginarias, impuestas por el observador. Si en el sistema no entra ni sale materia, se dice que se trata de un sistema cerrado, o sistema aislado si no hay intercambio de materia y energía, dependiendo del caso. En la naturaleza, encontrar un sistema estrictamente aislado es, por lo que sabemos, imposible, pero podemos hacer aproximaciones. Un sistema del que sale y/o entra materia, recibe el nombre de abierto.

Ponemos unos ejemplos:

Un sistema abierto: se da cuando existe un intercambio de masa y de energía con los alrededores; es por ejemplo, un coche. Le echamos combustible y él desprende diferentes gases y calor.

Un sistema cerrado: se da cuando no existe un intercambio de masa con el medio circundante, solo se puede dar un intercambio de energía; un reloj de cuerda, no introducimos ni sacamos materia de él. Solo precisa un aporte de energía que emplea para medir el tiempo.

Un sistema aislado: se da cuando no existe el intercambio ni de masa y energía con los alrededores; ¿Cómo encontrarlo si no podemos interactuar con él? Sin embargo un termo lleno de comida caliente es una aproximación, ya que el envase no permite el intercambio de materia e intenta impedir que la energía (calor) salga de él. El universo es un sistema aislado, ya que la variación de energía es cero

PROCESOS TERMODINAMICOS

Se dice que un sistema pasa por un proceso termodinámico, o transformación termodinámica, cuando al menos una de las coordenadas termodinámicas no cambia. Los procesos más importantes son:

Procesos isotérmicos: son procesos en los que la temperatura no cambia.

Procesos isobáricos: son procesos en los cuales la presión no varía.

Procesos isócoros: son procesos en los que el volumen permanece constante.

Procesos adiabáticos: son procesos en los que no hay transferencia de calor alguna.

Procesos diatérmicos: son procesos que dejan pasar el calor fácilmente.

Procesos isoentrópicos: procesos adiabáticos y reversibles. Procesos en los que la entropía no varía.

CODIFICACION
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main()
{ // PRIMERA LLAVE
int Opcion;
do
{
 cout<<"****** MENU  **************** \n\n";
 cout<<"1) SISTEMAS CERRADOS \n";    
 cout<<"2) COMPRENSIBILIDAD \n";    
 cout<<"3) CICLO DE CARNOT \n\n";    
 cout<<"*********************************** \n\n";    
 cout<<"        Ingrese una Opcion: "; cin>> Opcion;
 cout<<endl;
 cout<<"     Digite <0> para salir \n";
 switch(Opcion)
  {
   case 1:
   {
   cout<<" *** SISTEMAS CERRADOS ****\n";
   double U, W, Q, E, h ;
   double EC, EP, m, v; // DECLARACION
   double const g=9.8;
   cout<<"VALOR DEL TRABAJO TRANSFERIDO W=  ";cin>>W;
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   cout<<"VALOR DE LA MASA m=  ";cin>>m;
   cout<<"VALOR DE ALTURA h=  ";cin>>h;
   cout<<"VALOR DE LA VELOCIDAD v=  ";cin>>v;
   cout<<endl;
   cout<<" **********************************\n"; 
   //03 proceso
    U=Q-W;
   EP=m*g*h;
   EC=m*pow(v,2)/2;
   E=U+EC+EP;
   //04 resultado
   cout<<"EL VALOR DE ENERGIA CINETICA ES EC= "<<EC<<" J"<<endl;
   cout<<"EL VALOR DE ENERGIA POTENCIAL ES EP= "<<EP<<" J"<<endl;
   cout<<"EL VALOR DE CAMBIO DE ENERGUA INTERNA ES U= "<<U<<" J"<<endl;
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   }; break;
   case 2:
   {
   cout<<" *** COMPRENSIBILIDAD *** \n";        
   double Z, p, v, R, T; // DECLARACION
   cout<<"VALOR DE LA DENSIDAD ESPECIFICA P=  ";cin>>p;
   cout<<"VALOR DEL VOLUMEN ESPECIFICO DEL GAS v=  ";cin>>v; // ASIGNACION
   cout<<"VALOR DE LA TEMPERATURA T=  ";cin>>T;
   cout<<"VALOR DE CTTE. UNIVERSAL DE LOS GASES R=  ";cin>>R;
   p= R * T / v;
   Z= p * v / R * T;
   cout<<"EL VALOR DEL FACTOR DE COMPRENSIBILIDAD Z="<<Z;  
   cout<<endl;   
   cout<<" ************************************ \n";        
   }; break;
   case 3:
   {
   cout<<"**** CICLO DE CARNOT **** \n\n";        
   double TA, TB, NC; // DECLARACION
   cout<<"INGRESE LA TEMPERATURA A TA= ";cin>>TA; 
   cout<<"INGRESE LA TEMPERATURA B TB= ";cin>>TB; 
   //04 PROCESO
   NC=1-(TB-TA);
   cout<<"EL CICLO DE CARNOT ES NC= "<<NC<<"K"<<endl;    
    cout<<"********************************* \n";            
   }; break;
  } 
}while(Opcion !=0);

system("pause");
return 0;

}